研究巴拿赫空间之前,我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。
赋范线性空间是距离空间,希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间,巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。
作为资深专家,具备大师水平的数学研究者,穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。
内积空间中的内积可以定义范数,而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例,而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。
所以,沈奇基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下:
“巴拿赫空间X的一个非空子集C称为逼近紧的,是指对任意{xn}∞n=1∈C及任意y∈X,如果使得
‖xn-y‖→dist(y,C)=inf{‖xn-y‖:x∈C},
那么{xn}∞n=1就存在一个柯西列,称X是逼近紧的,且X的每个闭凸子集是逼近紧。”
“思路逐渐清晰,沈奇你认为一个巴拿赫空间X是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。
巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支,是一个有难度的领域,不适合初学者接触。
“没错。”沈奇和穆勒交流起来非常通畅,聪明人不废话,数学家不啰嗦。
“需要我做什么?”穆勒教授问到,并没有摆出教授及导师的架子,他视沈奇为平等的学术合作伙伴,就如当年的哈代和拉马努金、高斯和黎曼、欧拉和拉格朗日、欧几里得和阿基米德。
在学术上平等对待徒弟的师傅,往往能跟弟子一同载入史册。酷爱消灭徒弟的毕达哥拉斯,他在数学史上的声望评价为负分。
沈奇说到:“巴拿赫空间的RNP性质和鞅理论分析就拜托穆勒教授了,你是这方面的专家。”
“OK,那我们还等什么?分头干活吧,争取一个月之后合稿。”穆勒教授亲力亲为,这毕竟是他最先提出来的一个定理,他要亲手完成这项跨越三十几个春秋、渗透复杂感情的课题。
“OK。”沈奇收拾好资料,准备离开穆勒的办公室,去完成人生中第一个以自己姓氏命名的数学定理。
“对了,明天你去带导修课,这是我的教案备份和学生信息,你熟悉一下。”穆勒递给沈奇一个又厚又重的文件袋。
“看来穆勒教授的一百二十美元并不容易赚到。”沈奇笑了笑,接过文件袋这便离开。
晚上和第二天上午,沈奇开始编写“穆勒-沈定理”他负责的
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